Einstein nói về Không-thờigian

Kỷ niệm 100 năm thuyết tương đối  ALBERT EINSTEIN (2005)

ALBERT EINSTEIN
HIẾU TÂN dịch

 

KHÔNG -THỜI GIAN  (SPACE-TIME )

  Tất cả mọi tư duy và quan niệm của chúng ta được khơi gợi lên từ những kinh nghiệm- cảm giác, và có được ý nghĩa chỉ trong mối liên hệ với những kinh nghiệm-cảm giác đó.

Tuy nhiên , mặt khác chúng là sản phẩm của những hoạt động tự phát của trí óc, như vậy, chúng không phải là hậu quả có tính logíc của các nội dung của những kinh nghiệm cảm giác ấy. Do đó, nếu chúng ta mong nắm được thực chất của một tổ hợp các khái niệm trừu tượng, thì, một mặt chúng ta phải khảo sát những mối quan hệ hỗ tương giữa các khái niệm và những khẳng định về chúng, mặt khác, chúng ta phải tìm hiểu chúng liên hệ với những  kinh nghiệm như thế nào.

Về phương thức trong đó các khái niệm liên hệ với nhau và với kinh nghiệm, không có sự khác nhau về  nguyên tắc giữa các hệ thống khái niệm khoa học với các khái niệm của đời thường. Hệ thống khái niệm khoa học lớn lên từ khái niệm của đời thường, và đã được thay đổi và hoàn chỉnh theo các mục tiêu, mục đích của môn khoa học liên quan.

 Khái niệm càng phổ biến, nó càng đi vào suy nghĩ của chúng ta thường xuyên hơn , và nó liên hệ với kinh nghiệm càng gián tiếp bao nhiêu thì chúng ta càng khó hiểu ý nghĩa của nó bấy nhiêu ; đặc biệt đối với các khái niệm tiền khoa học mà chúng ta quen sử dụng từ thời thơ ấu. Xem xét các khái niệm được diễn đạt bằng các từ :“Ở đâu” “Khi nào” “Tại sao” “Là ”, có hằng hà sa số các triết thuyết nhằm giải thích chúng. Chúng ta suy đoán [về những vấn đề ấy] không khá gì hơn con cá cố gắng hiểu rõ nước là gì.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

KHÔNG GIAN 

Trong bài này chúng ta quan tâm đến ý nghĩa của từ “ở đâu”, tức là không gian. Rõ ràng trong kinh nghiệm cảm giác cá nhân nguyên thuỷ của chúng ta không cómột tính chất  nào có thể là được chỉ định [để nói]về tính không gian. Đúng hơn là, cái có tính không gian hiện ra như một kiểu trật tự các đối tượng vật chất của kinh nghiệm. Khái niệm “đối tượng vật chất ”, do đó, phải có trước nếu có thể có các khái niệm liên quan đến không gian. Đó là một khái niệm sơ đẳng [có trước nhất]về mặt lôgic. Điều này dễ thấy nếu chúng ta phân tích các khái niệm không gian chẳng hạn “bên cạnh”, “tiếp xúc với” vân vân, nghĩa là nếu chúng ta cố gắng nhận biết được sự tương đương của chúng trong kinh nghiệm. Khái niệm “đối tượng” là một phương tiện để xem xét sự tồn tại dài lâu trong thời gian hoặc tính liên tục, của một nhóm kinh nghiệm-phức cảm nào đó. Như vậy sự tồn tại của các đối tượng thực chất là quan niệm, và ý nghĩa của quan niệm về đối tượng phụ thuộc vào việc chúng được liên hệ (một cách trực giác) với nhóm kinh nghiệm cảm tính cơ bản. Mối liên hệ này là cơ sở cho cái ảo tưởng làm xuất hiện kinh nghiệm nguyên thuỷ để thông báo cho chúng ta một cách trực tiếp về mối quan hệ của những thể vật chất ( dẫu sao, chúng chỉ tồn tại trong chừng mực chúng được [người ta ] nghĩ đến)

 Theo ý nghĩa như vậy chúng ta có một cách gián tiếp kinh nghiệm của sự tiếp xúc giữa hai vật thể. Chúng ta không cần làm gì hơn là hướng chú ý vào cái đó, một khi chúng t a không đạt được điều gì trong mục đích hiện tại của chúng ta bằng cách  chọn ra những kinh nghiệm cá nhân mà điều khẳng định này đề cập đến. Nhiều vật thể có thể được đưa vào tiếp xúc vĩnh cửu với nhau theo những cách khác nhau. Chúng ta nói đến mối quan hệ- vi trí của các vật thể  là theo nghĩa đó .

(Lagenbeziehungen). Các định luật tổng quát về các mối quan hệ-vi trí như vậy, thực chất là mối quan tâm của môn hình học. Nó vẫn là như thế , ít nhất nếu chúng ta không muốn tự giới hạn trong việc xem các mệnh đề trong ngành tri thức này chỉ như mối quan hệ giữa những từ ngữ trống rỗng đã được sắp đặt theo những nguyên tắc nào đó.

TƯ DUY TIỀN - KHOA HỌC

Bây giờ ta thử xem ý nghĩa của khái niệm “không gian”, cái khái niệm mà chúng ta cũng gặp trong tư duy tiền khoa học, là gì? Khái niệm không gian trong tư duy tiền khoa học được đặc trưng bằng câu sau đây: “ chúng ta có thể nghĩ đến các đồ vật , nhưng không thể nghĩ đến khoảng không mà chúng chiếm”. Cứ như thể là , vốn không có một thứ kinh nghiệm gì, chúng ta có một khái niệm nó từ chối ngay cả việc biểu thị về không gian , như thể với sự giúp đỡ của khái niệm này chúng ta ra lệnh cho các kinh nghiệm cảm tính của chúng ta, biểu thị một suy diễn tiên nghiệm. Mặt khác, không gian xuất hiện như một thực tế vật lý, như một vật thể tồn tại độc lập với suy nghĩ của chúng ta, giống  như các đối tượng vật chất. Dưới ảnh hưởng của cách nhìn này về không gian những khái niệm nền tảng của Hình học : điểm, đường thẳng , mặt phẳng vẫn được coi như có tính cách hiển nhiên . Các nguyên tắc cơ bản về những hình dạng này được coi là đương nhiên có hiệu lực và đồng thời có nội dung khách quan. Người ta không ngần ngại gán một ý nghĩa khách quan cho câu khẳng định đại loại như “ ba vật thể đã cho một cách cảm tính (thực tế là vô cùng nhỏ) nằm trên cùng một đường thẳng”, mà không cần đến một định nghĩa vật lý cho một điều khẳng định như thế. Niềm tin mù quáng vào tính hiển nhiên và vào ý nghĩa thực tế trực tiếp của các khái niệm và các mệnh đề của hình học chỉ trở nên không chắc chắn sau khi hình học phi-Ơclit ra đời.

QUI CHIẾU VỀ TRÁI ĐẤT

Nếu chúng ta xuất phát từ quan điểm cho rằng tất cả các khái niệm không gian đều liên hệ đến kinh nghiệm xúc tiếp của các vật rắn, thì dễ hiểu khái niệm “không gian” đã phát sinh như thế nào, tức là, làm sao có thể thừa nhận một cái gì đó độc lập với các vật thể nhưng lại biểu hiện vị trí-khả dĩ (Lagerungs-moglichkeiten) của chúng . Nếu chúng ta có một hệ vật tiếp xúc và đứng yên tương đối  với nhau , cái này có thể thay thế bởi cái kia. Cái tính chất có thể thay thế này được hiểu như là “khoảng không có sẵn”. Không gian bao hàm ý nghĩa là một tính chất theo đó các vật rắn có thể chiếm các vị trí khác nhau. Cái quan điểm cho rằng không gian là một cái gì đồng nhất với bản thân nó có lẽ là do điều này: trong tư duy tiền-khoa học, tất cả mọi vị trí của các vật thể được qui chiếu về một vật (vật qui chiếu/ vật chuẩn), tức là Trái đất. Trong tư duy khoa học , trái đất được biểu thị bằng hệ toạ độ. Điều khẳng định rằng có thể đặt một số lượng vô hạn vật thể bên cạnh nhau có hàm nghĩa rằng không gian là vô hạn. Trong tư duy tiền khoa học các khái niệm “không gian ” và “thời gian” và “vật qui chiếu” là hoàn toàn không thể phân biệt được. Một vị trí hoặc một điểm trong không gian luôn luôn có nghĩa là một điểm vật chất trên một vật qui chiếu.

HÌNH HỌC ƠCLIT  

Nếu chúng ta xem xét hình học Ơclit chúng ta thấy rõ rằng nó nói đến các định luật điều phối vị trí các vật rắn. Nó lợi dụng cái ý tưởng thông minh là quy  tất cả các mối liên hệ của các vật  thể và vị trí tương đối của chúng với khái niệm rất đơn giản “khoảng cách” (Strecke). Khoảng cách hàm nghĩa một vật rắn trên đó hai chất điểm (dấu) được ghi lại. Khái niệm về sự bằng nhau của các khoảng cách (và cac góc) nói đến những thí nghiệm chồng khít, điều nhận xét này cũng áp dụng cho các định lý về tương đẳng. Ngày nay hình học Ơclit dưới dạng như nó được truyền cho chúng ta từ Ơclit, sử dụng những khái niệm cơ bản  “đường thẳng”, “mặt phẳng”, những khái niệm này không có vẻ tương ứng, dù ở mức độ nào,  với những kinh nghiệm về vị trí của các vật rắn.. Về điểm này cần nhận thấy rằng khái niệm đường thẳng có thể giản lược thành khái niệm khoảng cách ¹. Hơn nữa, các nhà hình học ít quan tâm đến việc đối chiếu các khái niệm cơ bản của họ với kinh nghiệm hơn là diễn dịch một cách lôgic các mệnh đề hình học từ một số ít những tiên đề được phát biểu ngay từ đầu.

Chúng ta hãy sơ lược vài nét xem từ khái niệm khoảng cách có thể đạt đến những điểm cơ bản của hình học Ơclit như thế nào.

Chúng ta xuất phát từ sự bằng nhau của các khoảng cách (tiên đề về sự bằng nhau của các khoảng cách). Giả sử có hai khoảng cách không bằng nhau, một khảong cách luôn lớn hơn khảng kía. Những tiên đề về sự không bằng nhau của các khoảng cách cũng là những tiên đề về sự không bằng nhau của các số.

Ba khoảng cách AB¹, BC¹, CA¹có thể , nếu CA¹được chọn một cách phù hợp, có các điểm đầu của chúng BB¹,CC¹,AA¹  đặt chồng lên nhau để tạo thành một tam giác ABC. Khoảng cách CA¹ có một giới hạn trên sao cho phép dựng hình trên đây vừa vặn có khả năng tồn tại. Các điểmA, (BB¹), và C lúc này nằm trên một đường thẳng (định nghĩa).Điều này dẫn tới các khái niệm: Tạo ra một khoảng cách bởi một lượng bằng chính nó; phân chia một khoảng cách thành các phần bằng nhau, biểu thị một khoảng cách bằng con số nhờ một thước đo (định nghĩa về khoảng không gian giữa hai điểm)

Khi đạt được khái niệm khoảng không gian giữa hai điểm hay độ dài của khoảng cách bằng cách này, chúng ta chỉ cần tiên đề sau đây (định lý Pythagoras) để đi đến hình học Ơclit theo cách giải tích

Với mọi điểm trong không gian (vật qui chiếu) có thể gán ba con số (toạ độ) x,y,z -hay ngược lại- sao cho đối với mỗi cặp điểm A(x₁,y₁,­­z₁) và  B(x₂,y₂,­­z₂) ta có :

số đo AB = {căn bậc hai (x₂ - x₁)_­­­­­­² +(y₂ - y₁)_­­­­­­² +(z₂ - z₁)_­­­­­­² }

Mọi khái niệm và mệnh đề sau này của hình học Ơclit đều có thể được xây dựng một   cách thuần lý dựa trên cơ sở này, đặc biệt là các mệnh đề về đường thẳng và mặt phẳng.

Những nhận xét trên tất nhiên không có ý định thay thế cho cấu trúc theo các tiên đề chặt chẽ của hình học Ơclit. Chúng tôi chỉ muốn chỉ ra một cách hợp lý rằng tất cả các quan niệm của hình học có thể qui về quan niệm khoảng cách như thế nào. Có thể chúng tôi đã thu gọn toàn bộ cơ sở của hình học Ơclit về định lý trên đây. Như vậy mối quan hệ đối với các nền móng của kinh nghiệm được cung câp thêm một định lý bổ sung .

Các toạ độ có thể và phải đựơc chọn sao cho hai cặp điểm cách nhau những quãng bằng nhau như phép tính theo định lý Pythagoras, có thể được làm cho trùng với một và cùng một khoảng cách đã chọn (trên một hình ba chiều)

                                                                                                                                                          

_________________

¹Ý này suy ra từ định lý : “đường thẳng là đường nối ngắn nhất giữa hai điểm” Định lý đó cũng có thể dùng làm định nghĩa về đường thẳng , mặc dù định nghĩa không đóng vai trò gì trong kết cấu lô gic của các suy luận

Các khái niệm và mệnh đề của hình học Ơclit có thể suy ra từ định lý Pythagoras và không cần viện đến các vật rắn, nhưng như vậy những khái niệm và mệnh đề này không có các nội dung có thể khảo chứng. Chúng không phải là những mệnh đề “thật”mà chỉ là

những mệnh đề có nội dung đúng một cách thuần tuý lôgic mà thôi.

NHỮNG KHÓ KHĂN

 Trong việc trình bày trên đây về cách hiểu hình học ta gặp một khó khăn nghiêm trọng là các vật rắn kinh nghiệm không tương ứng một cách chính xác với các vật thể hình học. Khi nói điều này tôi ít nghĩ đến việc không có những tiêu chuẩn tuyệt đối rõ ràng, hơn là nghĩ đến nhiệt độ, áp suất và các hoàn cảnh điều kiện khác làm thay đổi các định luật liên quan đến vị trí. Cũng nên nhớ lại rằng các thành tố cấu tạo vật chất (như nguyên tử, điện tử..) bị các nhà vật lý cho rằng về nguyên  tắc không xứng với các vật rắn, tuy nhiên, các khái niệm hình học được áp dụng cho chúng và các bộ phận của chúng. Vì duyên cớ này những người có tư tưởng nhất quán không muốn cho nội dung thực của các sự vật (reale Tatsachenbestande) chỉ phù hợp với hình học mà thôi. Họ cho rằng nên để cho nội dung kinh nghiệm (Erfahrungsbestande) phù hợp với cả hình học và vật lý liên kết với nhau                                               

Quan điểm này chắc chắn là ít bị công kích hơn quan điểm trình bày trên kia, vì trái ngược với lý thuyết nguyên tử, nó là quan điểm duy nhất vượt qua được . Tuy nhiên theo ý kiến của tác giả, không nên từ bỏ quan điểm đầu tiên, quan điểm mà từ đó hình thành các nguồn góc của môn hình học. Mối liên hệ này thực chất dựa trên niềm tin rằng vật rắn lý tưởng là một trừu tượng có gốc rễ sâu xa từ các qui luật tự nhiên.

CÁC CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC

Bây giờ chúng ta đi đến một câu hỏi:cái gì là chắc chắn một cách tiên nghiệm trong hình học (lý thuyết về không gian), hay  cần thiết một cách tiên nghiệm trong những cơ sở của nó. Trước đây chúng ta nghĩ: mọi thứ -vâng, mọithứ; bây giờ chúng ta nghĩ-- không có gì cả. Khái niệm khoảng cách trước đây về mặt lôgic là tuỳ ý , không cần có điều kiện gì thích ứng với nó, dù chỉ tương đối. Có thể phát biểu tương tự như thế về đường thẳng , mặt phẳng, về không gian ba chiều, về hiệu lực của định lý Pythagoras. Hơn thế nữa, ngay cả lý thuyết continum cũng không hề là cái có trước so với bản tính của tư duy , do đó từ quan điểm nhận thức luận, đối với các quan hệ hình học tôpô thuần tuý,  không ai có thẩm quyền hơn người khác.

CÁC KHÁI NIỆM CỦA  VẬT LÝ CỔ ĐIỂN.

 Tuy vậy chúng ta vẫn phải đề cập đến những thay đổi trong quan niệm về không gian, cái quan niệm đã đi cùng với sự xuất hiện của thuyết tương đối . Nhằm mục đích này, chúng ta phải xem xét  khái niệm không gian của vật lý cổ điển theo một cách nhìn khác với trên kia. Nếu chúng ta áp dụng định lý Pythagoras cho các điểm vô cùng gần nhau , ta có :                                                                               

     ds_­­­­­­²  =  dx_­­­­­­² + dy_­­­­­­² + dz_­­­­­­²

 trong đó  ds là khoảng cách có thể đo được giữa chúng. Đối với một ds đã cho- theo kinh nghiệm hệ tọa độ chưa đủ xác định cho mọi kết hợp của các điểm bằng  phương trình này.

Ngoài việc được tịnh tiến, một hệ toạ độ còn có thể được quay².  Điều này có ý nghĩa giải tích: các quan hệ của hình học Ơclit là hiệp biến đối với các phép biến đổi trực giao tuyến tính của các toạ độ

Khi áp dụng hình học Ơclit vào cơ học cũ (trước khi có thuyết tương đối) có thêm một yếu tố không xác định nữa được đưa vào qua việc chọn hệ toạ độ : trạng thái chuyển động của hệ toạ độ là tuỳ ý ở mức độ nhất định, tức là  trong đó cũng có thể xảy ra những phép thay thế của các hệ toạ độ thuộc dạng

x’ = x –vt

y’ =  y

z’ = z

Mặt khác, cơ học cũ không cho phép áp dụng các hệ toạ độ mà trạng thái chuyển động của chúng  khác với biểu diễn trong các phương trình này. Chúng ta nói đến các “hệ quán tính ” là theo nghĩa này. Trong các hệ quán tính được ưa chuộng này chúng ta gặp phải một thuộc tính mới của không gian mà cho đến nay các quan hệ hình học chưa đề cập đến, đó không phải là thuộc tính của không gian đơn thuần mà là một thuộc tính của con- tinum bốn chiều bao gồm cả thời gian và không gian hợp chung lại.

SỰ XUẤT HIỆN CỦA THỜI GIAN 

Tại điểm này, lần đầu tiên thời gian dứt khoát bước vào cuộc thảo luận của chúng ta .Trong sự áp dụng của chúng, không gian (vị trí) và thời gian luôn xuất hiện cùng với nhau. Mọi sự kiện xảy ra trong thế giới được xác định bởi hệ toạ độ - không gian x, y, z, và toạ độ-thời gian  t. Như vậy mô tả vật lý về bốn chiều có ngay từ đầu. Nhưng cái continum bốn chiều này dường như tự tách ra thành continum không gian ba-chiều và continum thời gian một-chiều. Sự tách rời này vốn xuất phát từ cái ảo tưởng cho rằng khái niệm“đồng thời” tự nó có ý nghĩa hiển nhiên, mà cái ảo tưởng này lại doở chỗ chúng ta nhận được tin từ những sự kiện gần gũi hầu như tức thời nhờ môi giới của ánh sáng.

 Niềm tin vào ý nghĩa tuyệt đối của sự đồng thời này đã bị phá huỷ bởi qui luật điều hành sự truyền ánh sáng trong chân không, hay là điện động lực học của Maxwell-Lorentz. Hai điểm vô cùng gần nhau có thể liên lạc được với nhau nhờ một tín hiệu ánh sáng nếu có thể áp dụng cho chúng  quan hệ sau đây :

ds²  =  c² dt²  - dx²  -dy² – dz² = 0

Từ đó có thể suy ra rằng vì các điểm không-thời gian vô cùng gần nhau được chọn tùy ý,  ds. có một giá trị độc lập với hệ quán tính nhất định đã cho. Nhất trí với điều này, chúng ta thấy rằng để chuyển từ một hệ quán tính này sang một hệ khác, các phương trình chuyển động nói chung không giữ nguyên các giá trị -thời gian không đổi. Như vậy,  điều này chứng tỏ rằng continum bốn chiều không thể tách ra thành continum-không gian và continum-thời gian, ngoại trừ được tách ra một cách độc đoán. Lượng không đổi ds có thể được đo bằng thước và đồng hồ.

  ________________________________

²    Thay đổi phương của các trục toạ độ nhưng chúng vẫn giữ vuông góc với nhau

                                                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                           

HÌNH HỌC BỐN CHIỀU       

Với một lượng ds không đổi, ta có thể xây dựng hình học bốn chiều theo phương pháp tương tự như hình học ba chiều của Ơclit. Theo cách này, vật lý trở thành một loại thống kê trong continum bốn chiều . Ngoài sự káhc nhau về số chiều , côntinum bốn chiều còn khác với hình học Ơclit ở chỗ ds có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn không (zêrô). Theo đó chúng ta phân biệt giữa các yếu tố có tính thời gian và các yếu tố có tính không gian . ranh giưói giữa chúng được vạch ra bởi yếu tố  ds² = 0 xuất phát từ mọi điểm.Nếu chúng ta chỉ xét các yếu tố thuộc cùng giá trị thời gian, chúng ta có

-ds² = dx² + dy² + dz²

Những phần tử ds này có thể có phần tử đối ở khoảng cách cố định và như trước đây, hình học Ơclit áp dụng được cho chúng.

TÁC DỤNG CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP VÀ TỔNG QUÁT

 Đây là sửa đổi mà thuyết không gian và thời gian đã thực hiện thông qua thuyết tương đối hẹp. Lý thuyết về không gian vẫn còn được sửa chữa nhiều hơn nữa bởi thuyết tương đối tổng quát, vì thuyết này phủ nhận rằng phần không gian ba chiều của continum không -thời gian là có đặc tính Ơclit. Do đó nó cho rằng hình học Ơclit không áp dụng cho vị trí tương đối của các vật thể tiếp xúc liên tục với nhau.

Vì qui luật có tính kinh nghiệm về sự bằng nhau của khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn khiến chúng ta hiểu được trạng thái của continum, đối chiếu với hệ không- quán tính trọng trường và để xử lý các hệ  không- quán tính tương tự  như với hệ quán tính. Qui vào một hệ được kết nối với hệ quán tính như thế bởi phép biến đổi phi tuyến của các toạ độ, lượng bất biến ds² có dạng chung:

ds²  = Σμν g{sub μν}dx_μ­ dx_ν

Trong đó: các g{sub μν} là các hàm của toạ độ và  tổng được lấy các chỉ số với mọi kết hợp 11.12...44­. Tính khả biến của g{sub μν}  tương đương với tồn tại của một trường hấp dẫn. Nếu trường hấp dẫn đủ tổng quát thì không thể tìm thấy một hệ quán tính nào, nghĩa là , một hệ toạ độ mà các lượng ds²  qui chiếu vào nó có thể biểu diễn bằng dạng đơn giản trên kia :

ds²  =  c² dt²  - dx²  -dy² – dz²

Nhưng trong cả  trường hợp này nữa trong khoảng vi phân (vùng lân cận vô cùng bé)của một điểm không-thời gian  có một hệ qui chiếu cục bộ mà ds giữ dạng đơn giản nói trên.

Trạng thái thực tế này dẫn đến một kiểu hình học mà thiên tài của Riemann đã sáng tạo ra hơn nửa thế kỷ trước khi thuyết tương đối tổng quát ra đời, lý thuyết mà Riemann đã tiên đoán tầm quan trọng của nó đối với vật lý học

HÌNH HỌC RIEMANN

Hình học Riemann về không gian n-chiều có quan hệ với hình học Ơclit về không gian 3-chiều với tư cách là hình học đại cương, cũng giống như quan hệ của hình học của các mặt cong đối với hình học phẳng. Với khoảng vi phân (vùng lân cận vô cùng bé)của một điểm trên một mặt cong , có một hệ toạ độ cục bộ mà trong đó khoảng cách ds giữa hai điểm vô cùng gần nhau được cho bởi phương trình:

ds²  =  dx²  + dy²

Tuy nhiên, với mọi hệ toạ độ tuỳ ý (Gauss), một biểu thức dạng :

ds²  =  g{sub 11} dx₁²   +  2g{sub 12} dx₁ dx_2­ +  g{sub 22}  dx₂²

có tác dụng trong một phạm vi xác định của mặt cong. Nếu các g{sub μν} được cho như các hàm của x₁ và x₂  thì lúc đó bề mặt được xác định hoàn toàn về mặt hình học. Vì từ công thức này chúng ta có thể tính ra mọi kết hợp của hai điểm vô cùng gần nhau trên bề mặt chiều dài ds của thanh vi tế (minute rod) nối giữa chúng , và với sự giúp đỡ của công thức này tất cả mạng lưới có thể xây dựng trên bề mặt bằng các thanh li ti này đều có thể tính toán được. Đặc biệt, độ cong tại mọi điểm trên mặt cong có thể tính toán được, đó là số lượng cho thấy các qui luật chi phối vị trí của thanh trong vùng lân cận của điểm đang xét sai lệch so với các qui luật trong hình học phẳng đến mức nào và bằng cách nào.

Lý thuyết về các mặt cong của Gauss được Riemann mở rộng đến các continum với số lượng chiều kích bất kỳ và như vậy đã mở đường cho thuyết tương đối tổng quát. Vì như đã trình bày ở trên, ứng với hai điểm vô cùng gần nhau của không-thời gian ta có thể nhận được một số ds bằng cách đo bằng thước cứng và đồng hồ (tất nhiên, với các phần tử có tính thời gian , chỉ đo bằng đồng hồ thôi). Số lượng (ds) này xuất hiện trong lý thuyết toán thay thế cho chiều dài của thanh vi tế  trong hình học ba chiều . Các đường cong mà với chúng tích phân ∫ds có các giá trị tĩnh  xác định đường đi của các điểm vật chất và các tia sáng trong trường hấp dẫn và độ cong của không gian phụ thuộc vào sự phân bố vật chất trong vũ trụ. 

 Cũng như trong hình học Ơclit khái niệm không gian nói đến các vị trí -khả dĩ của các vật rắn, trong thuyết tương đối tổng quát khái niệm không-thời gian nói đến hoạt động của các vật thể rắn và các đồng hồ. Nhưng continum không-thời gian khác với continum không gian ở chỗ qui luật chi phối hoạt động của các vật thể này (đồng hồ và thứơc đo) phụ thuộc vào chỗ chúng đang ở đâu. Continum này (hoặc các con số miêu tả nó) đưa tính rõ ràng vào các qui luật tự nhiên, và ngược lại những thuộc tính của continum này  được xác định bởi các nhân tố vật lý. Các quan hệ kết nối không gian và thời gian không còn khác biệt với bản thân vật lý.

Không có gì chắc chắn đã được biết về các thuộc tính có thể có của toàn bộ continum không-thời gian. Tuy nhiên , thông qua thuyết tương đối tổng quát cái quan niệm cho rằng continum là vô hạn về mặt thời gian nhưng hữu hạn về không gian là có thể .

THỜI GIAN

Khái niệm thời gian vật lý là trả lời cho khái niệm thời gian của tư duy ngoài khoa học. Cái khái niệm thời gian của tư duy ngoài khoa học ấy có gốc rễ trong trật tự thời gian của kinh nghiệm cá nhân, và cái trật tự ấy chúng ta buộc phải chấp nhận như một cái gì đã có sẵn ngay từ đầu.

Tôi trải nghiệm cái khoảnh khắc “bây giờ”, hay, diễn đạt chính xác hơn, trải nghiệm-cảm giác hiện tại (Sinnen Erlebnis)  kết hợp với nhớ lại những trải nghiệm-cảm giác (trước đây). Đó là lý do tại sao những trải nghiệm này dường như hình thành một loạt , tức là chuỗi thời gian được ghi nhận bằng “sớm hơn” và “muộn hơn”. Chuỗi kinh nghiệm đó được coi như một continum một chiều. Các chuỗi  kinh nghiệm có thể tự lặp lại và do đó có thể được tái nhận. Chúng cũng có thể được lặp lại không hoàn toàn chính xác, trong đó một số sự kiện được thay thế bằng các sự kiện khác mà  chúng ta không cảm thấy bị mất đi đặc tính của lặp lại.

  Bằng cách đó chúng ta dựng lên khái niệm thời gian như cái khung một chiều có thể đổ đầy kinh nghiệm vào đấy theo nhiều cách khác nhau. Những chuỗi kinh nghiệm nào thì  ứng với những  khoảng thời gian chủ quan đó.

Việc chuyển từ thời gian chủ quan (Ich-Zeit) sang khái niệm thời gian của tư duy tiền khoa học đựoc liên hệ với sự hình thành của ý tưởng cho rằng có một thế giới thực tại bên ngoài độc lập với chủ quan. Theo nghĩa này các  sự kiện (khách quan) được làm cho đáp ứng với những kinh nghiệm chủ quan. Cũng theo nghĩa này có một thời gian của sự kiện “khách quan” tương ứng đuợc qui cho thời gian “chủ quan” của kinh nghiệm. Ngược lại với các kinh nghiệm các sự kiện bên ngoài và trật tự của chúng trong thời gian đòi hỏi tính hiệu lực cho tất cả các chủ thể .

Quá trình khách thể hoá này không gặp khó khăn là trật tự thời gian của các kinh nghiệm tương ứng với hàng loạt các sự kiện bên ngoài là như nhau đối với tất cả mọi cá nhân. Trong trường hợp cảm giác thị giác trực tiếp của cuộc sống hàng ngày của chúng ta, sự tương ứng này là chính xác. Đó là lý do tại sao cái ý tưởng cho rằng có một trật tự thời gian khách quan đã trở thành vững chắc một cách phi thường. Trong khi vạch ra cái tư tưởng về một thế giới khách quan của các sự kiện bên ngoài một cách thật chi tiết, ta thấy cần thiết phải làm cho các sự kiện và các kinh nghiệm phụ thuộc lẫn nhau một cách phức tạp hơn. Điều này trước hết được thực hiện bằng các qui tắc và cách thức mà tư duy đạt được một cách bản năng, trong đó khái niệm về không gian đóng vai trò đặc biệt nổi bật. Quá trình tinh vi này rốt cuộc dẫn đến khoa học tự nhiên.

Việc đo thời gian được thực hiện bằng đồng hồ. Một chiếc đồng hồ là một vật nó tự động chuyển qua một loạt sự kiện (khoảng) bằng nhau (trong thực tế) Số khoảng (thời gian đồng hồ) trôi qua có tác dụng như một phép đo thời gian. Ý nghĩa của định nghĩa này sẽ rõ ràng ngay nếu sự kiện xảy ra trong vùng lân cận vô cùng nhỏ của đồng hồ trong không gian, đối với tất cả những người quan sát khi đó quan sát bằng mắt đồng thời cùng một thời gian đồng hồ các sự kiện độc lập với vị trí của họ.Trước khi thuyết tương đối được đưa ra,  có giả thuyết cho rằng khái niệm về tính đồng thời có một ý nghĩa khách quan tuyệt đối cho cả các sự kiện cách biệt nhau trong không gian.

Giả thuyết trên đã bị bác bỏ bởi việc phát minh ra định luật về sự truyền ánh sáng. Vì nếu tốc độ của ánh sáng trong chân không là một lượng độc lập với lựa chọn (hay với trạng thái chuyển động) của hệ quán tính mà nó đang được qui chiếu vào, không có ý nghĩa  tuyệt đối nào có thể gán cho khái niệm về tính đồng thời của các sự kiện xảy ra ở các điểm cách biệt nhau bằng một khoảng cách trong  không gian. Hơn nữa, với mỗi hệ quán tính phải định rõ một thời gian riêng. Nếu không có hệ toạ độ (hệ quán tính) nào được dùng làm cơ sở qui chiếu thì khẳng định rằng các sự kiện tại các điểm khác nhau trong không gian xảy ra đồng thời, là vô nghĩa. Không gian và thời gian được gắn kết với nhau thành một continum thống nhất bốn chiều chính là do hệ quả của điều này.

A.E.

Hiếu Tân dịch (2005) 

Xem thêm bài của Bertrand Russell